Otros autores

En esta noche, en este mundo (fragmento)

no
las palabras
no hacen el amor
hacen la ausencia
si digo agua ¿beberé?
si digo pan ¿comeré?

en esta noche en este mundo
extraordinario silencio el de esta noche
lo que pasa con el alma es que no se ve
lo que pasa con la mente es que no se ve
lo que pasa con el espíritu es que no se ve

¿de dónde viene esta conspiración de invisibilidades?
ninguna palabra es visible

Alejandra Pizarnik

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Amistad de estrellas

Éramos amigos y nos hemos vuelto extraños. Pero está bien que así sea, y no queremos ocultarnos ni ofuscarnos como si tuviésemos que avergonzarnos de ello
Somos dos barcos y cada uno tiene su meta y su rumbo; bien podemos cruzarnos y celebrar juntos una fiesta, como ya lo hemos hecho
-... y los valerosos barcos estaban fondeados luego tan tranquilos en un puerto y bajo un sol que parecía como si hubiesen arribado ya a la meta y hubiesen tenido una meta...-
Pero la fuerza todopoderosa de nuestras tareas nos separó e impulsó luego hacia diferentes mares y regiones del sol, y tal vez nunca más nos veremos
-o tal vez nos volveremos a ver, pero no nos reconoceremos de nuevo: ¡los diferentes mares y soles nos habrán transformado!-

Que tengamos que ser extraños uno para el otro, es la ley que está sobre nosotros: ¡por eso mismo hemos de volvernos más dignos de estimación uno al otro!
¡Por eso mismo ha de volverse más sagrado el recuerdo de nuestra anterior amistad!
Probablemente existe una enorme e invisible curva y órbita de estrellas, en la que puedan estar contenidos como pequeños tramos nuestros caminos y metas tan diferentes
¡elevémonos hacia ese pensamiento!
Pero nuestra vida es demasiado corta y demasiado escaso el poder de nuestra visión, como para que pudiéramos ser algo más que amigos, en el sentido de aquella sublime posibilidad.

Y es así como queremos creer en nuestra amistad de estrellas, aun cuando tuviéramos que ser enemigos en la tierra".

Friedrich Nietzsche

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El caminante (fragmento)

-...Cierto que quería ser poeta pero, al mismo tiempo, un ciudadano.
Quería ser artista y un hombre de imaginación, pero también tener virtud y disfrutar de la patria.
Tardé mucho tiempo en saber que no se puede ser y tener las dos cosas a la vez, que soy nómada y no campesino, perquisidor y no guardán.
Durante mucho tiempo me he mortificado ante dioses y leyes que para mí eran solamente ídolos. Este fue mi error, mi tormento, mi complicidad en la desgracia del mundo...-

Desde las montañas sopla una húmeda ráfaga; al otro lado, azules y celestes islas contemplan nuestras tierras. Bajo aquellos cielos seré feliz a menudo, y también amenudo sentiré la nostalgia del hogar
Este viento hacia el que trepo tiene una maravillosa fragancia de lejanía y de otro mundo, de aguas divisorias y fronteras lingüísticas, de sur y de montañas. Está lleno de promesas.
¡Adiós, pequeña casa de labor y paisaje de la patria! Me despido de vosotros como un adolescente de su madre: sabe que ya le ha llegado la hora de separarse de ella, y sabe también que nunca podrá abandonarla del todo, aunque tal fuera su deseo

Hermann Hesse

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God was never on your side (canción traducida al español)

Si las estrellas caen sobre mí
Y el sol se niega a brillar
Entonces que los grilletes se deshagan
Que todas las viejas palabras dejen de rimar
Si el cielo se convierte en piedra
No importará en absoluto
Porque no hay paraíso en el cielo
El infierno no espera nuestra caída

Deja que la voz de la razón brille
Deja que los piadosos desaparezcan para siempre
El rostro de Dios está oculto, totalmente invisible
No puedes preguntarle qué significa todo esto
Él nunca estuvo de tu lado
Dios nunca estuvo de tu lado
Deja que el bien o el mal decidan
Dios nunca estuvo de tu lado

Mira diez mil ministerios
Mira a los santos y justos perros
Ellos afirman curar, pero todo lo que hacen es robar
Abusan de tu fe, engañan y roban
Si Dios es sabio, ¿por qué no hace nada
Cuando estos falsos profetas lo llaman amigo?
¿Por qué está en silencio? ¿Está ciego?
¿Estamos abandonados al final?

Deja que la espada de la razón brille
Seamos libres de oración y santuario
El rostro de Dios está oculto, se ha alejado
Nunca tuvo algo que decir
Él nunca estuvo de tu lado
Dios nunca estuvo de tu lado
Deja que el bien o el mal, decida solo
Dios nunca estuvo de tu lado

No, no, no
Él nunca estuvo de tu lado
Dios nunca estuvo de tu lado
Nunca, nunca, nunca, nunca
Nunca de tu lado
Nunca de tu lado
Dios nunca estuvo de tu lado
Nunca de tu lado

Motörhead

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Ciencia

En este apartado se pretenderá hacer algunas descripciones matemáticas de distintos fenómenos de la física relativista y la mecánica cuántica, como de aquellos fenómenos que están en el dominio de la mecánica clásica

Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

Autor: Edwin Santiago Posada Jaramillo

Resumen

Luego que Max Planck postulara que la radiación que emitía cada átomo en un cuerpo negro estaba cuantizada y correspondía a cantidades enteras de energía \(E=nh\nu\), varios problemas que enfrentaba para aquel tiempo la mecánica clásica para describir ciertos fenómenos como la estabilidad del electrón en el átomo, el efecto fotoeléctrico y la distribución espectral de energía en un cuerpo negro fueron completamente esclarecidas. También, para aquellos años se conocían bien las propiedades que tenían las ondas y la materia; alguna de ellas es que la materia presentaba una ubicación definida en el espacio y tenía masa, mientras que las ondas se caracterizaban por todo lo contrario.
Particularmente se sabía para entonces que las ondas presentaban interferencia constructiva o destructiva, lo que significaba que podían superponerse en un mismo punto del espacio, cosa que no era posible para dos o más entidades materiales. De algunos fenómenos físicos particulares que se evidenciaron en su época (como la difracción de electrones) hizo surgir la alocada -pero no equivocada- hipótesis de Louis de Broglie en 1924 la cual sería confirmada en 1927 por el experimento de Davisson y Germer.
Broglie, propuso que a toda partícula de masa m que se mueva a velocidad v se le puede asociar una onda de materia, es a partir de este hecho que formularemos una ecuación muy especial que describe esa dualidad de onda-partícula.

Equivalencia del momento, masa en reposo y energía

A partir de la relación relativista que existe entre estas cantidades, es posible hallar una expresión de la energía asociada a un fotón que dependa su momento lineal.
\[E=\sqrt{\rho^2c^2+m_0^2c^4} \tag{1}\]
Sabiendo que la masa en reposo de un fotón es \(m_0=0\), queda que la energía es equivalente al momento por el cuadrado de la velocidad de la luz en el vacío:
\[E=\sqrt{\rho^2c^2}=\rho c\]
Además, sabemos que (1) puede ser equiparada con la energía de Planck
\[E=\rho c=h\nu\] multiplicando por \(\dfrac{2\pi}{2\pi}\)
\[E={\omega}{\hbar} \tag{2}\]
Haciendo unas pequeñas transformaciones, es fácil concluir que:
\[\rho=\frac{h\nu}{c}\cdot\left(\frac{2\pi}{2\pi}\right)=\frac{h}{2\pi}\cdot\frac{2\pi}{\lambda}\]
\[\vec{\rho}=\hbar\vec{k} \tag{3}\]

Onda de materia

La onda de materia fue introducida por Louis de Broglie luego de afirmarse que era posible conocer la longitud de onda \(\lambda\) de cualquier entidad material, si se conocía su masa y velocidad. Sabemos que podemos escribir de manera general una onda (sea de naturaleza electromagnética o mecánica) con las típicas propiedades ondulatorias como lo son el vector de propagación \(\vec{k}\) y su frecuencia angular \(\omega\) así:
\[{\psi}_{\left(r,t\right)}={e}^{i\left(k\cdot r-\omega t\right)}\]
Con las expresiones (2) y (3) se puede reescribir la anterior onda con propiedades corpusculares, de ahora en adelante ésta será nuestra onda de materia y le llamaremos función de onda.
\[{\psi}_{\left(r,t\right)}={e}^{\frac{i}{\hbar}{\left(\rho\cdot r-{E} t\right)}} \tag{4}\]

Sobre la conservación de la energía

Como el sistema cuántico que se desea estudiar tiene masa y velocidad asociada y estará interactuando bajo la naturaleza de algún potencial estacionario, conserva su energía. El Hamiltoniano \(\hat{H}=E\) será la función que describirá las diferentes manifestaciones energéticas, para este caso solo será cinética y potencial.
\[\hat{H}=E={K}+{V}{\left(r\right)} \tag{5}\]

Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

Es necesario que nuestra función de onda \({\psi}_{\left(r,t\right)}\) sea continua en \((r,t)\), además por simplicidad haremos que el coeficiente A (Coeficiente de normalización, el cual hablaré en otra oportunidad) tenga el valor 1. Se sacará la primera derivada temporal y espacial, y solamente la segunda derivada para la parte espacial.
\[\frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{-iE}{\hbar}\cdot\psi\left(r,t\right) \tag{6}\]
\[\frac{\partial \psi}{\partial r}=\frac{i\rho}{\hslash}\cdot\psi\left(r,t\right)\]
\[\frac{{\partial}^{2}\psi}{\partial{r}^{2}}=\frac{-{\rho}^{2}}{{\hslash}^{2}}\cdot\psi\left(r,t\right) \tag{7}\]
No olvidemos que el momento \(\rho=\vec{\rho}\) y la coordenada \(r=\vec{r}\) están en el espacio, es decir \(\vec{\rho}=\left({\rho}_{x},{\rho}_{y},{\rho}_{z}\right)\) y \(\vec{r}=\left({r}_{x},{r}_{y},{r}_{z}\right)\) respectivamente. Si dividimos (7) entre 2m, tendremos una expresión para \({K}{\psi}\):
\[\frac{{\rho}^{2}}{2m}\cdot{\psi}{\left(r,t\right)}=\frac{-{\hslash}^{2}}{2m}\cdot\frac{{\partial}^{2}\psi}{\partial{r}^{2}}\]
\[{K}{\psi}{\left(r,t\right)}=\frac{-{\hslash}^{2}}{2m}\cdot\frac{{\partial}^{2}\psi}{\partial{r}^{2}}\]
\[{K}{\psi}{\left(r,t\right)}=\frac{-{\hslash}^{2}}{2m}\cdot{\nabla}^{2}\psi\left(r,t\right) \tag{8}\]

Ahora, de (6) podemos obtener una expresión para \({E}{\psi}\):
\[{E}{\psi}{\left(r,t\right)}={i}{\hbar}\frac{\partial}{\partial t}\psi{\left(r,t\right)} \tag{9}\]

Finalmente, si multiplicamos la expresión (5) por nuestra función de onda \(\psi\), y reemplazamos (7) y (8), notaremos que obtendrá una ecuación diferencial parcial que establecerá ciertos parámetros y condiciones sobre \(\psi\):
\[{E}{\psi}=({K}+{V}{\left(r\right)}){\psi}\]
\[{E}{\psi}={K}{\psi}+{V}{\left(r\right)}{\psi}\]
\[{i}{\hbar}\frac{\partial\psi}{\partial t}=\frac{-{\hslash}^{2}}{2m}{\nabla}^{2}\psi+{V}{\left(r\right)}{\psi} \tag{10}\]

Ésta última expresión (10) tiene una utilidad especial, es llamada como la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, y será aquella que permitirá encontrar los estados cuánticos (funciones de onda) y sus correspondientes energías para diferentes modos de excitación; eso será tema de discusión para cuando publique las propiedades que impone sobre \(\psi\) el ser un problema de Sturm-Liouville (problema de autovalores).

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Solución general de la Ecuación de Schrödinger e independencia temporal

Autor: Edwin Santiago Posada Jaramillo

Resumen

Una vez que he demostrado que la onda de materia (función de onda de ahora en adelante) satisface la ecuación de Schrödinger y no la ecuación de onda convencional \(\frac{{\partial }^{2}\Psi }{\partial {r}^{2}}=\frac{1}{{c}^{2}}\frac{{\partial }^{2}\Psi }{\partial {t}^{2}}\), nos concentraremos en hallar su solución general con una estrategia que facilita los cálculos. Para esto, resultará útil escribir la función de onda como el producto de dos funciones independientes, luego se encuentra la solución de cada función por separado y se multiplican. Así se tendrá la forma general de la función de onda. En este proceder, se encuentra un resultado que simplifica mucho los problemas puesto que se omite la parte temporal de la ecuación de Schrödinger.

Separación de variables, condiciones y suposiciones

Que la función de onda pueda separarse en una parte temporal y otra espacial depende de la naturaleza del problema físico tanto como el potencial V. A esto me refiero con que el potencial tenga la propiedad de ser estacionario, puesto que de lo contrario la suposición de que la función de onda pueda ser separable fracasaría a la hora de encontrar dos ecuaciones diferenciales que den solución de manera independiente para el tiempo y la posición. Sin entrar en detalle matemático de esta situación, nos vamos a establecer en potenciales estacionarios para que sea válida la suposición:

\(V(r,t)=V(r)\)

Suponiendo que la función de onda sea separable se tiene:

\[\psi \left(r,t\right)=\alpha \left(t\right)\cdot \phi \left(r\right) \tag{1} \]

Ahora, reemplazando (1) en la ecuación de Schrödinger se tiene lo siguiente:

\[ {i}{\hbar}\frac{\partial}{\partial t}{[\alpha \left(t\right)\cdot \phi \left(r\right)]}=\frac{-{\hslash }^{2}}{2m}{\nabla }^{2}[\alpha \left(t\right)\cdot \phi \left(r\right)] +{V}{\left(r\right)}{[\alpha \left(t\right)\cdot \phi \left(r\right)]} \]

Sacando de las derivadas las funciones que no están bajo el dominio de la variable

\[ {i}{\hbar}{\phi \left(r\right)}\frac{\partial}{\partial t}{\alpha \left(t\right)}={\alpha \left(t\right)}[\frac{-{\hslash }^{2}}{2m}{\nabla }^{2} \phi \left(r\right) +{V}{\left(r\right)}{\phi \left(r\right)}] \]

Y dividiendo en ambos lados por la función de onda

\[ {i}{\hbar}\frac{1}{\alpha \left(t\right)}\frac{\partial}{\partial t}{\alpha \left(t\right)}=\frac{1}{ \phi \left(r\right)}[\frac{-{\hslash }^{2}}{2m}{\nabla }^{2} \phi \left(r\right) +{V}{\left(r\right)}{\phi \left(r\right)}] \]

Se obtiene una ecuación cuya dependencia del lado izquierdo solo es temporal y cuyo lado derecho tiene una dependencia solo espacial. Además como ambas cantidades son iguales, pueden ser igualadas a una constante cualquiera, esa constante será la energía E (si se hace un análisis dimensional de esta constante en el argumento de una función exponencial que aparece más adelante se evidencia que debe corresponder a Joules)

\[ {i}{\hbar}\frac{1}{\alpha \left(t\right)}\frac{\partial}{\partial t}{\alpha \left(t\right)}=\frac{1}{ \phi \left(r\right)}[\frac{-{\hslash }^{2}}{2m}{\nabla }^{2} \phi \left(r\right) +{V}{\left(r\right)}{\phi \left(r\right)}]=E \tag{2} \]

Parte temporal

A partir de establecer la condición de separabilidad a la función de onda y la independencia temporal al potencial se pudo llegar a una ecuación (2) de naturaleza separable. Esto permitirá encontrar una solución para cada variable. Siendo así, hallemos la solución para la parte temporal de esta ecuación. De (2) se tiene:

\[ {i}{\hbar}\frac{1}{\alpha \left(t\right)}\frac{\partial}{\partial t}{\alpha \left(t\right)}=E \]

Integrando para \(\alpha \left(t\right)\) se obtiene:

\[ \int\frac{1}{\alpha \left(t\right)}{\partial}{\alpha \left(t\right)}=\int\frac{E}{{i}{\hbar}}{\partial t} \]

\[ \int\frac{1}{\alpha \left(t\right)}{d\alpha \left(t\right)}=\int\frac{E}{{i}{\hbar}}{dt} \]

\[ \ln(\alpha \left(t\right))+C=\frac{{E}{t}}{{i}{\hbar}} \]

\[ e ^{\ln(\alpha \left(t\right))+C}=e ^{\frac{{E}{t}}{{i}{\hbar}}} \]

\[ \alpha \left(t\right)=e ^{C} e ^{{\frac{{-i}{E}}{\hbar}}{t}} \]

\[ \alpha \left(t\right)={k} e ^{{\frac{{-i}{E}}{\hbar}}{t}} \tag{3} \]

Esta última expresión es la solución asociada a la parte temporal, la cual tiene una naturaleza armónica con frecuencia \(\frac{E}{\hbar}\).

Parte espacial

Una vez consolidada la solución para la parte temporal, solo haría falta establecer una expresión para la solución de la parte espacial. Si se analiza desde la expresión (2) lo que sucede cuando multiplicamos en ambas partes de la ecuación por \(\phi \left(r\right)\), notaremos que esta adquiere la forma de un típico problema de autovalores, donde la función \(\phi \left(r\right)\) es el eigenvector y E a su correspondiente eigenvalor:

\[ \frac{-{\hslash }^{2}}{2m}{\nabla }^{2} \phi \left(r\right) +{V}{\left(r\right)}{\phi \left(r\right)}={ \phi \left(r\right)}E \tag{4} \]

A la ecuación (4) se le llama la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Así, la solución \(\phi \left(r\right)\) para esta ecuación depende exclusivamente de la forma del potencial V. En el próximo tema que deseo publicar, hablaré de un problema conocido en el ámbito de las matemáticas como la teoría de Sturm-Liouville, del cual se puede mostrar que (4) es un caso particular, que adopta un conjunto de propiedades que serán útiles para seguir desarrollando la teoría cuántica que se viene de ahora en adelante.

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Teoría de Sturm-Liouville, estudio de un caso particular y sus propiedades

Autor: Edwin Santiago Posada Jaramillo

Resumen

Tras evidenciar que la solución general de la ecuación de Schrödinger podía reescribirse en una parte temporal y otra espacial (ecuación con independencia temporal de Schrödinger), bajo la condición de que el potencial fuera estacionario; podemos ahondar en una teoría matemática que simplifica y proporciona ciertas características en múltiples áreas de las ciencias, entre tantas será de nuestro interés, la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.
Se introducirá de manera no detallada (como sí en algún apartado que pienso hacer más adelante), la noción de los llamados operadores diferenciales los cuales serán herramientas físico-matemáticas que nos proporcionarán la capacidad de modelar, analizar y resolver problemas.

Teoría de Sturm-Liouville

Esta teoría fue creada alrededor del siglo XVII por Jacques Charles François Sturm y Joseph Liouville, estos cuchitos desarrollaron un tipo de problema matemático que involucra ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden (EDOLS) con condiciones de frontera. Estos problemas son fundamentales en la teoría de valores propios y funciones propias (veremos que dicho problema se simplifica a una ecuación de autovalores) y tienen aplicaciones extensas en diversas áreas de la física y la ingeniería como la teoría del calor, teoría de vibraciones, teoría electromagnética y ¿por qué no? en la teoría cuántica.
La EDOLS en cuestión por definición es de la siguiente forma:

\[\frac{d}{dx}\left(m\left(x\right)\cdot \frac{dy}{dx}\right)+\lambda \omega \left(x\right)y-s\left(x\right)y=0\]

A (1), se le conoce como ecuación de Sturm-Liouville. Donde \(m\left(x\right)\) y \(\omega \left(x\right)\) son funciones positivas, \(s\left(x\right)\) una función real, todas estas son continuas en un intervalo [a,b], esto permitirá establecer luego las condiciones de frontera para \(y\left(x\right)\) (función incógnita) y \(\frac{dy}{dx}\). La función \(\omega \left(x\right)\) es llamada función de densidad o función peso. El valor \(\lambda\) será una constante real, de hecho, el encontrar los valores para \(\lambda\) para los que exista una solución no trivial de la ecuación (1) que satisfaga las condiciones de frontera se denomina el problema de Sturm-Liouville.
Dichos valores \(\lambda\) son llamados valores propios o autovalores. Las soluciones asociadas a dichos autovalores son las llamadas funciones propias o autofunciones.
las funciones \(m\left(x\right)\), \(\omega \left(x\right)\) y \(s\left(x\right)\) inducen o crean bajo distintas condiciones (según sean sus formas) operadores diferenciales hermíticos en algunas funciones definidas por las condiciones de frontera. No se preocupen por ésto último que mencioné, luego será abarcado como ya lo había comentado.

Condiciones de frontera para el problema de Sturm-Liouville

Las típicas condiciones de frontera para la ecuación de Sturm-Liouville (1) se hacen sobre la función incógnita y su primera derivada de manera general así:

\[\begin{gather*} {\alpha }_{1}y\left(a\right)+{\beta }_{1}{y}^{\prime }\left(a\right)=0\\ {\alpha }_{2}y\left(b\right)+{\beta }_{2}{y}^{\prime }\left(b\right)=0 \end{gather*}\]

Donde:

• \(y\left(a\right)\) y \(y\left(b\right)\) son los valores de la función en los extremos del intervalo [a,b].
• \({y}^{\prime }\left(a\right)\) y \({y}^{\prime }\left(b\right)\) son los valores de la derivada de la función en los extremos del intervalo.
• \({\alpha }_{1}\) \({\alpha }_{2}\) \({\beta }_{1}\) \({\beta }_{2}\) son constantes que determinan el tipo de condición de frontera.

Ustedes se estarán preguntando ¿Para qué carajos sirven esas condiciones de frontera y por qué demonios son de esa forma?, pues, las condiciones de frontera representan condiciones naturales del sistema. Por ejemplo, en un problema de vibración de una cuerda fija en ambos extremos, la función de onda debe anularse en los extremos de la cuerda. Además, estas condiciones están diseñadas para garantizar la existencia de un conjunto discreto de valores propios y funciones propias ortogonales
Las anteriores condiciones son producto de algunos tipos de condiciones ya conocidas en el mundo de las matemáticas, las cuales son las siguientes:

• Condiciones de Dirichlet: La función se anula en los extremos del intervalo. Estas condiciones son comunes en problemas de vibraciones y ondas. Es decir: \(y\left(a\right) = y\left(b\right) = 0\)
• Condiciones de Neumann: La derivada de la función se anula en los extremos del intervalo. Estas condiciones aparecen en problemas de flujo de calor y electromagnetismo. Es decir: \({y}^{\prime }\left(a\right)= {y}^{\prime }\left(b\right) = 0\)
• Condiciones de Robin: Combinaciones lineales de la función y su derivada, tal y como se presentó en un inicio, es decir, una combinación entre las condiciones de Dirichlet y Neumann.

¿Problema de autovalores?

Para mostrar que la ecuación (1) es un problema de autovalores, se necesita expresar la ecuación de Sturm-Liouville como un operador diferencial \(\hat{O}\) actuando sobre la función incógnita \(y\left(x\right)\) dando como resultado una constante \(\lambda\) por la misma función incógnita, es decir, \(\hat{O}{y}={\lambda}{y}\). De (1):

\[\begin{gather} -\frac{d}{dx}\left(m\left(x\right)\cdot \frac{dy}{dx}\right)+s\left(x\right)y=\lambda \omega \left(x\right)y \end{gather}\]

Si definimos el operador diferencial de Sturm-Liouville \(\hat{L}\) como:

\[\begin{gather*} \hat{L} = -\frac{d}{dx}\left(m\left(x\right)\cdot \frac{d\circ}{dx}\right)+s\left(x\right)\circ \end{gather*}\]

Podemos llevar a (2) a la siguiente forma tomando la función de peso con valor de uno:

\[\begin{equation} \hat{L}{y}={\lambda}{y} \end{equation}\]

Así pues, podemos evidenciar con certeza que el problema de Sturm-Liouville se reduce a un problema de autovalores.

Caso particular

Existe una ``coincidencia" muy inesperada cuando se le proporcionan ciertos valores a las funciones y constantes al problema de Sturm-Liouville (3). Notar que si hacemos \(m\left(x\right)=\frac{{\hbar}^2}{2m}\), \(\omega \left(x\right)=1\), \(s\left(x\right)= V\left(x\right)\), \(y\left(x\right)=\phi\left(x\right)\) y \(\lambda=E\); el problema de Sturm-Liouville se convierte en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en una dimensión \(x\) (Este problema es posible extenderlo a tres dimensiones \((x,y,z)\)).

\[\begin{equation} \frac{-{\hslash }^{2}}{2m}{\nabla }^{2} \phi \left(x\right) +{V}{\left(x\right)}{\phi \left(x\right)}={ \phi \left(x\right)}E \end{equation}\]

La ventaja de que (4) sea un caso particular de el problema de Sturm-Liouville es que adoptará todas las propiedades que presenta este problema matemático, dichas propiedades y características se enunciarán a continuación.

Propiedades y características del problema de Sturm-Liouville

Existen un conjunto de propiedades que son válidas para cualquier forma del problema de Liouville, estas son las siguientes y más importantes:

1. Existe un conjunto de valores propios reales y discretos que pueden ordenarse en forma creciente de acuerdo al contador \(n\in \mathbb{R}\)

\[\begin{equation*} {\lambda }_{0}<{\lambda }_{1}<{\lambda }_{2}<\dots <{\lambda }_{n}<{\lambda }_{n+1} \end{equation*}\]

2. A cada valor propio \({\lambda }_{i}\) le corresponde una función propia \({\phi }_{i}\), con \(i=0,1,2,3,...,n\)

\[\begin{equation*} \hat{L}{\phi }_{i}={\lambda }_{i}{\phi }_{i} \end{equation*}\]

De manera matricial, podría reescribirse de la siguiente manera:

\[\begin{equation*} \hat{L}\left[\begin{array}{c}{\phi }_{0}\\ {\phi }_{1}\\ \vdots\\ {\phi }_{n}\end{array}\right]=\begin{bmatrix} {\lambda }_{0} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & {\lambda }_{1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & {\lambda }_{n} \end{bmatrix}\left[\begin{array}{c}{\phi }_{0}\\ {\phi }_{1}\\ \vdots\\ {\phi }_{n}\end{array}\right] \end{equation*}\]

3. Las funciones propias \({\phi }_{i}\) asociadas al valor propio \({\lambda }_{i}\), tienen un número creciente de nodos (lugar donde se anula la función de onda).

\[\begin{align*} {\phi }_{0}&\Longrightarrow \text{0 nodos, estado fundamental}\\ {\phi }_{1}&\Longrightarrow \text{1 nodos, primer estado excitado}\\ {\phi }_{2}&\Longrightarrow \text{2 nodos segundo estado excitado}\\ \vdots\\ {\phi }_{n}&\Longrightarrow \text{n nodos}\ \end{align*}\]

4. Las funciones propias se pueden normalizar a la unidad, esto se refiere a la posibilidad de ajustar la función de manera que su integral (o, en algunos contextos, su suma) sobre su dominio sea igual a uno. En mecánica cuántica, nuestra función de onda debe ser normalizada para que la probabilidad total de encontrar la partícula en todo el espacio sea igual a uno (debe estar en alguna parte esa perruncha)

\[\begin{equation*} \int {|\phi|}^{2}dx = \int {\phi^*}{\phi}dx = 1 \end{equation*}\]

En el espacio sería

\[\begin{equation*} \iiint {|\phi|}^{2}dv = \iiint {\phi^*}{\phi}dv = 1 \end{equation*}\]

5. La funciones propias deben ser cuadro integrable, es decir, la integral del módulo cuadrado de la autofunción sobre su dominio es finita.

\[\begin{equation*} \int {|\phi|}^{2}dx < \infty \end{equation*}\]

6. Las autofunciones \({\phi }_{i}\) son ortonormales

\[\begin{equation*} \int {\phi }_{i}^*{\phi }_{j}dx = {\delta }_{ij} \end{equation*}\]

Donde \({\delta }_{ij}\) es el Delta de Kronecker, este toma el valor de \(0\) si \(i\neq j\) y toma el valor de \(1\) si \(i=j\).

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Paquete de ondas, velocidad de grupo y de fase; una introducción al principio de incertidumbre de Heisenberg

Autor: Edwin Santiago Posada Jaramillo

Resumen

En el primer artículo que escribí, había mostrado que existe la posibilidad de conferir propiedades ondulatorias a entidades materiales mediante la idea de Louis Broglie con su onda de materia. En este nuevo apartado mostraré que es necesario introducir una condición sobre dicha función de onda para poder describir correctamente lo que sucede en una partícula libre cuando está siendo interpretada mediante una descripción ondulatoria. Esta condición consta en que una sola onda plana (onda unidimensional) no es suficiente para explicar el comportamiento de la partícula y que requiere de otras ondas planas con distintas frecuencias \(\omega\) y números de onda \(k\) para superponerse y generar algo que llamaremos paquete de onda.

Para demostrar esto que digo, pretendo mostrar una incongruencia que existe entre la magnitud en la velocidad de la onda y de la partícula, puesto que dicha velocidad debería ser igual para ambas, y también, que la probabilidad de encontrar a dicha partícula es una constante para todo lugar. Por último, se deja un puente abierto que cruza directo al principio de incertidumbre, cuestión que se tratará en un nuevo escrito.

Primer problema: ¿Una sola onda de materia?

Quizá uno creería que es suficiente una única onda de materia (por ahora, le llamaré onda plana, de hecho lo es... y le quitaré los parámetros corpusculares), para describir el comportamiento de una partícula libre, pero en realidad esto no es nada congruente con lo que sucede en el mundo físico. Observemos la siguiente onda plana en una dimensión:

\[\Psi_{\left(x,t\right)} = A e^{i \left(k \cdot x - \omega t\right)}\]

Además, sabemos que el módulo cuadrado de dicha función \(\left|\Psi \left(x,t\right)\right|^2\) representa la probabilidad de encontrar la partícula en una posición \(x\) y tiempo \(t\) dado (densidad de probabilidad):

\[ \begin{aligned} \left|\Psi \left(x,t\right)\right|^2 &= \Psi \left(x,t\right)^* \Psi \left(x,t\right)\\ &= A e^{-i \left(k \cdot x - \omega t\right)} A e^{i \left(k \cdot x - \omega t\right)}\\ &= A^2 \end{aligned} \]

Este resultado nos dice que existe una probabilidad de encontrar la partícula para cualquier posición y tiempo que es constante (\(A^2\)), situación que no es cierta debido a que la partícula debe estar en algún lugar en concreto para algún tiempo dado.

Segundo problema: La velocidad de la onda es diferente a la velocidad de la partícula

Sabemos de la teoría ondulatoria que la velocidad de una onda \(\upsilon\) que no está en el vacío es:

\[\upsilon = \lambda \nu\]

Y que del postulado de Broglie y Max Planck podemos reescribir la longitud de onda \(\lambda\) y la frecuencia \(\nu\) como:

\[ \begin{aligned} \upsilon &= \frac{h}{p} \frac{E}{h}\\ &= \frac{E}{p}\\ &= \frac{\frac{1}{2} m v_p^2}{m v_p}\\ &= \frac{v_p}{2} \end{aligned} \]

Así, hemos llegado a que la velocidad de la onda (velocidad de fase de la onda) \(\upsilon\) es la mitad de la velocidad de la partícula \(v_p\), lo cual no es coherente, ya que si hemos elegido una onda plana para que represente la entidad corpuscular, es de esperar que esta tenga al menos la misma velocidad que la partícula.

Dos problemas un origen

Acabamos de ver que al tratar de describir el comportamiento de una partícula libre mediante una forma ondulatoria fracasa si lo hacemos mediante una única onda plana, debido a que la densidad de probabilidad es una constante y que la velocidad de fase de la onda y la partícula no son las mismas. ¿Cuál es entonces la solución a este pedo tan berraco?

Superposición de ondas: paquete de ondas

Una luz que llega a resolver este problema se encuentra justamente en hacer superponer varias ondas planas, a este fenómeno le llamamos paquete de ondas

Sabemos que si dos ondas o más interfieren constructivamente (cuando las ondas están en fase, es decir, sus crestas y valles coinciden) la amplitud resultante será suma de las amplitudes individuales y que si estas interfieren destructivamente (Ocurre cuando las ondas están desfasadas \(\pi\) radianes, es decir, la cresta de una onda coincide con el valle de la otra) la amplitud resultante es la diferencia entre las amplitudes individuales.

Un paquete de ondas es una superposición de ondas con diferentes números de onda \(k\) y frecuencias \(w\) que resulta en una onda cuya amplitud está confinada a una región específica del espacio. A diferencia de una onda plana, que se extiende infinitamente, un paquete de ondas tiene una localización espacial definida, lo que nos hará útil para describir nuestra partícula libre.

Antes de definir la forma general que tiene este paquete de ondas, me parece propicio mostrar un caso sencillo, donde solamente se superpongan dos ondas planas \(\Psi_1\) y \(\Psi_2\) con número de onda y frecuencia angular \(k\), \(\omega\) y \(k+\Delta k\), \(\omega + \Delta \omega\) respectivamente. Donde \(k+\Delta k\ll 1\) y \(\omega + \Delta \omega \ll 1\), es decir, son pequeñas variaciones en estos parámetros.

\[ \begin{aligned} \Psi_1 (x,t) &= A e^{i(k x - \omega t)} \\ \Psi_2 (x,t) &= A e^{i((k+\Delta k) x - (\omega + \Delta \omega) t)} \end{aligned} \]

Al sumar ambas ondas se obtiene lo siguiente:

\[ \begin{aligned} \Psi (x,t) &= \Psi_1 (x,t) + \Psi_2 (x,t) \\ &= A e^{i(k x - \omega t)} + A e^{i((k+\Delta k) x - (\omega + \Delta \omega) t)} \\ &= A e^{i(k x - \omega t)} + A e^{i(k x - \omega t)} e^{i(\Delta k x - \Delta \omega t)} \\ &= A (1 + e^{i(\Delta k x - \Delta \omega t)}) e^{i(k x - \omega t)} \\ &= A(x,t) e^{i(k x - \omega t)} \end{aligned} \]

Notemos que la onda resultante tiene la forma de una onda plana, solo que tiene una particularidad, y es que el término \(A\) que era constante para una sola onda plana, es ya una variable para cada posición y tiempo \(A(x,t)\). Este término se encarga de modular la onda plana.

Ahora, miremos qué pasa con la densidad de probabilidad, ¿será una constante nuevamente?

\[ \begin{aligned} |\Psi (x,t)|^2 &= \Psi (x,t)^* \Psi (x,t) \\ &= A(x,t)^* e^{-i(k x - \omega t)} A(x,t) e^{i(k x - \omega t)} \\ &= |A (x,t)|^2 \neq A \end{aligned} \]

En efecto, no lo es. Es interesante de que así sea, pues, ya tiene más sentido hablar de una probabilidad que no sea una constante para todo \((x,t)\). Si llegáramos a conocer cómo modula \(A(x,t)\) podríamos conocer cuál es la forma de ese paquete de dos ondas. Para simplificar el análisis, omitiré la parte temporal, así:

\[ A(x) = A(1 + e^{i \Delta k x}) \]

Utilizando la identidad de Euler \(e^{i \Delta k x} = \cos (\Delta k x) + i \sin (\Delta k x)\)

\[ A(x) = A(1 + \cos (\Delta k x) + i \sin (\Delta k x)) \]

Así, \(A(x)\) alcanza su máximo valor cuando \(e^{i \Delta k x} = 1\), es decir, cuando \(\Delta k x = 0\), solo es posible si \(x=0\), debido a que \(\Delta k \neq 0\) para que exista una onda de diferente número de onda y pueda haber superposición. Observemos que en \(x=0\) la probabilidad será máxima.

Así, \(A(x)\) alcanza su máximo valor cuando \(e^{i \Delta k x} = 1\), es decir, cuando \(\Delta k x = 0\), solo es posible si \(x=0\), debido a que \(\Delta k \neq 0\) para que exista una onda de diferente número de onda y pueda haber superposición. Observemos que en \(x=0\) la probabilidad será máxima.

\[ \left|\Psi(0)\right|^2 = \left|A(0)\right|^2 = 4A^2 \]

Ahora, miremos que \(A(x)\) alcanza su mínimo valor cuando \(e^{i \Delta k x} = -1\), es decir, cuando \(\Delta k x = \pm \pi\), por tanto, \(x= \frac{ \pm \pi}{\Delta k}\). Observemos que en ese punto la probabilidad será mínima:

\[ \left|\Psi\left(\frac{ \pm \pi}{\Delta k}\right)\right|^2 = \left|A\left(\frac{ \pm \pi}{\Delta k}\right)\right|^2 = 0 \]

Todo esto lo hago para dar a entender que existe un intervalo finito \(\left[\frac{-\pi}{\Delta k },\frac{\pi}{\Delta k}\right]\) en donde la densidad de probabilidad tiene un máximo y dos mínimos. Si uno grafica la parte real de \(\Psi (x,t)\) en dicho intervalo se da cuenta de lo que estoy hablando. Les debo la imagen, promesa :)

Por ahora, desarrollemos más la superposición de las dos ondas

\[ \begin{aligned} \Psi (x,t) &= A(1 + e^{i(\Delta k x - \Delta \omega t)}) e^{i(k x - \omega t)}\\ &= A [1 + \cos (\Delta k x - \Delta \omega t) + i \sin (\Delta k x - \Delta \omega t)] \cdot \\ &\cdot \cos (k x - \omega t) + i \sin (k x - \omega t)\\ &= A [ \cos (k x - \omega t) + i \sin (k x - \omega t) + \dots \\ &\dots + [\cos (\Delta k x - \Delta \omega t) + i \sin (\Delta k x - \Delta \omega t)] \cdot \\ &\cdot \cos (k x - \omega t) + i \sin (k x - \omega t)]\\ &= A [ \cos (k x - \omega t) + i \sin (k x - \omega t) + \dots \\ &\dots + \cos ((k + \Delta k) x - (\omega + \Delta \omega) t) + i \sin ((k + \Delta k) x - (\omega + \Delta \omega) t)] \end{aligned} \]

Tomemos la parte real;

\[ \mathbb{R}\{ \Psi (x,t) \} = A [ \cos (k x - \omega t) + \cos ((k + \Delta k) x - (\omega + \Delta \omega) t)] \]

Utilizando la identidad trigonométrica \(\cos(a) + \cos(b) = 2 \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\), se obtiene para la parte real:

\[ \begin{aligned} \mathbb{R}e\{\Psi_{(x,t)}\} &= 2 A \cos\left(\frac{k \cdot x - \omega \cdot t + (k + \Delta k) \cdot x - (\omega + \Delta \omega) \cdot t}{2}\right) \\ &\cos\left(\frac{k \cdot x - \omega \cdot t - \left[(k + \Delta k) \cdot x - (\omega + \Delta \omega) \cdot t\right]}{2}\right) \\ &= 2 A \cos\left(\frac{(2k + \Delta k) \cdot x - (2\omega + \Delta \omega) \cdot t}{2}\right) \cos\left(\frac{-\Delta k \cdot x + \Delta \omega \cdot t}{2}\right) \text{, } \Delta \omega = \Delta k \approx 0 \\ &= 2 A \cos\left(\frac{2k \cdot x - 2\omega \cdot t}{2}\right) \cos\left(\frac{-\Delta k \cdot x + \Delta \omega \cdot t}{2}\right) \\ &= 2 A \cos(k \cdot x - \omega \cdot t) \cos\left(\frac{\Delta k \cdot x - \Delta \omega \cdot t}{2}\right) \\ &\mathbb{R}e\{\Psi_{(x,t)}\} = 2 A \cos\left(\frac{\Delta k \cdot x - \Delta \omega \cdot t}{2}\right) \cos(k \cdot x - \omega \cdot t) \end{aligned} \]

El primer término corresponde a la onda envolvente o moduladora. Esta será por así decirlo la onda que transporta el paquete o grupo de ondas.

En párrafos anteriores, había hablado sobre la inconsistencia que había entre la velocidad de la onda y la partícula cuando se trataba de una sola onda plana. Ahora probemos si aún existe esta inconsistencia cuando se trata de dos ondas planas (pueden ser hasta infinitas).

Para ello, factoricemos el argumento de la onda envolvente, y veamos que tenga la forma \(x - vt\), clásico de cualquier onda:

\[ \cos\left(\frac{\Delta k \cdot x - \Delta \omega \cdot t}{2}\right) \\ \cos\left(\frac{\Delta k}{2} \left(x - \frac{\Delta \omega}{\Delta k} \cdot t\right)\right) \]

Así, definimos la velocidad de la onda moduladora o envolvente, como la velocidad de grupo \(V_g = \frac{\Delta \omega}{\Delta k}\). Si tomamos el límite cuando \(\Delta k \rightarrow 0\) tenemos una expresión diferenciable para \(V_g\):

\[ V_g = \underset{\Delta k \to 0}{\lim}\left(\frac{\Delta \omega}{\Delta k}\right) = \frac{d\omega}{dk} \]

Si \( \omega = 2 \pi \nu \) y \( k= \frac{2\pi}{\lambda} \):

\[ V_g=\frac{d 2 \pi \nu }{d\frac{2\pi}{\lambda}} \]

\[ V_g=\frac{d\nu }{d\frac{1}{\lambda}} \]

Al estar hablando de una partícula libre, podríamos conferir características corpusculares a esta velocidad de grupo mediante el postulado de Planck y Broglie.

\[ V_g=\frac{d\frac{E}{h} }{d\frac{p}{h}} \]

\[ V_g=\frac{{\frac{1}{h}}}{{\frac{1}{h}}}{\frac{dE}{dp}} \]

\[ V_g=\frac{dE}{dp} \]

Si la energía de la partícula libre es \( E=\frac{p^2}{2m} \), se tiene:

\[ V_g=\frac{d}{dp} \left(\frac{p^2}{2m}\right) = \frac{p}{m} = \frac{m V_p}{m} = V_p \]

Después de todo este recorrido, se demostró con gustosa sazón que al superponer ondas planas (dos o más), se puede estudiar la partícula libre con cualidades ondulatorias sin presentar problemas con la densidad de probabilidad, la velocidad de grupo y de la partícula.

Por último, vamos a definir de manera general la forma matemática de un paquete de ondas, esto se hace mediante la superposición de ondas planas de diferente \( k \) y \( \omega \) de la siguiente manera:

\[ \psi \left(x,t\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }\phi \left(k\right)\cdot e^{i\left(kx-\omega t\right)}\, dk \]

Si nos preocupamos solo por ver el paquete de onda en un instante particular, por ejemplo en \( t=0 \) se reduce a:

\[ \psi_0 \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }\phi \left(k\right)\cdot e^{i kx}\, dk \]

Donde \( \phi \left(k\right) \) es la amplitud (o función envolvente) en el espacio de \( k \), que describe la contribución de cada número de onda al paquete de ondas. La exponencial representa las infinitas ondas planas que harán interferencia, y el término constante \( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \) se encarga de hacer cumplir la condición de normalización, esto quiere decir que si aplicamos la transformada de Fourier a una función y luego aplicamos la transformación inversa de Fourier debe devolver la función original.

Igualmente podemos definir la transformada de Fourier de \( \psi_0 \) como:

\[ \phi \left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }\psi_0 \left(x\right)\cdot e^{-i kx}\, dx \]

Si utilizamos las relaciones \( E=\omega \hbar \) y \( p = k \hbar \) quedan las siguientes expresiones para los paquetes de onda ya definidos:

\[ \psi \left(x,t\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar }}\int_{-\infty }^{\infty }\Phi \left(p\right)\cdot e^{\frac{i}{\hbar}\left(px-E t\right)}\, dp \]

\[ \psi_0 \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar }}\int_{-\infty }^{\infty }\Phi \left(p\right)\cdot e^{\frac{i}{\hbar} px}\, dp \]

\[ \Phi \left(p\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar }}\int_{-\infty }^{\infty }\psi_0 \left(x\right)\cdot e^{-\frac{i}{\hbar} px}\, dx \]

Extender este resultado a un espacio tridimensional, hace cambiar la constante de normalización:

\[ \psi \left(\vec{r},t \right)=\frac{1}{{(2\pi \hbar )^{\frac{3}{2}}}}\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}\Phi \left(\vec{p}\right)\cdot e^{\frac{i}{\hbar}\left(\vec{p} \cdot \vec{r}-E t\right)}\, dp_x \, dp_y \, dp_z \]

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